Bursik kwam quasi zijn hele jeugd uit voor AFC Wimbledon, alvorens in 2017 naar Stoke City te trekken. Bij de Engelse traditieclub, dat sinds 2018 in de Engelse tweede klasse speelt, werd hij uitgeleend aan verschillende clubs. De doelman stond onder de lat bij Telford United, Accrington, Doncaster Rovers, Peterborough en Lincoln City. Aan het begin van het seizoen 2021/22 greep Bursik zijn kans als eerste doelman bij de Engelse tweedeklasser.
Op 14 januari 2023 plukte Blauw-Zwart de Engelse belofte-international weg uit Engeland. De Brit ligt tot medio 2027 vast bij Club.